为自己加油

设A，B和A+B都是n阶正交矩阵，证明：(A+B)^-1=A^-1
+B^-1．

证明：因为 (A+B)(A^-1+B^-1)=A•A^-1+AB^-1+BA^-1+B•B^-1 =2E+AB^-1+BA^-1 因为 A，B和A+B都是正交矩阵 所以 (A+B)(A+B)^T=(A+B)(A^T+B^T) =A．A^T+AB^T+BA^T+B•B^T =2E+AB^T+BA^T=E 又AA^T=E． B．B^T=E 所以 A^T=A^-1． B^T=B^-1 所以 2E+AB^T+BA^T=2E+AB^-1+BA^-1=E 所以 (A+B)(A^-1+B^-1)=E 故(A+B)^-1=A^-1+B^-1