设A是n阶方阵，如果存在n阶非零矩阵B使AB=O（零矩阵），证明A＜n
证明：由于B是非零矩阵，因此至少存在一个非零元素，设某一非零元素所在的列为 (x1 x2 · · · xn),则A (x1 x2 · · · xn) = (0 0 · · · 0),即 (x1 x2 · · · xn) 是齐次线性方程组Ax=O的非零解，所以系数行列式|A|=0，所以A不是满足秩矩阵，即r(A)＜n.
设A是n阶方阵，如果存在n阶非零矩阵B使AB=O（零矩阵），证明A＜n
证明：由于B是非零矩阵，因此至少存在一个非零元素，设某一非零元素所在的列为 (x1 x2 · · · xn),则A (x1 x2 · · · xn) = (0 0 · · · 0),即 (x1 x2 · · · xn) 是齐次线性方程组Ax=O的非零解，所以系数行列式|A|=0，所以A不是满足秩矩阵，即r(A)＜n.
