设函数f(x)=-(1/3)x3+x2+(m2-1)x(x∈R)，其中m﹥0．
(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值；
(3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1﹤x1，若对任意的x∈[x1，x2]，f(x)﹥f(1)恒成立，求m的取值范围．
(1)当m=1时，f(x)=-(1/3)x3+x2，f(x)=-x2+2x ，故f′(1)=1． 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1． (2)f′(x)=-x2+2x+m2-1．令f′(x)=0，解得x=1-m，或x=1+m． 因为m﹥0，所以1+m﹥1-m．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (-∞，1-m) 1-m (1-m，1+m) 1+m (1+m，+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 函数f(x)的增区间为(1-m，1+m)，减区间为(-∞，1-m)，(1+m，+∞)． 函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m)， 且f(1-m)=-(2/3)m3+m2-(1/3). 函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)， 且f(1+m)=(2/3)m3+m2-(1/3) (3)由题设，f(x)=((1/3)x3+x+m2-1) =-(1/3)x(x-x1)(x-x2)，所以方程 =-(1/3)m2+x+m2=0有两个相异的实根x1，x2， 故x1+x2=3，且△=1+(4/3)(m2-1)﹥0，解得m﹤-1/2(舍)，或m﹥(1/2). 因为x1﹤x2， 所以2x2﹥x1+x2=3，故x2﹥(3/2)﹥1． 若x1≤1﹤x2，则f(1)=-(1/3)(1-x1)(1-x2)≥0，而f(x1)=0，不合题意． 若1﹤x1﹤x2，对任意的x ∈[﹤x1,x2]，有x﹥0，x-x1≥0， x-x2≤0， 则f(x)=-(1/3)x(x-xx1)(x-xx2)≥0． 又f(x1)=0，所以f(x)在[x1，x2]上的最小值为0， 于是对任意的x∈[x1，x2]，f(x)﹥f(1)恒成立的充要条件是f(1)=m2-(1/3)﹤0，解得 -(√3/3)﹤m﹤(√3/3)． 综上，m的取值范围是(1/2，√3/3)．
