设向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表出，证明：
(1)r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)=r(β1，β2，…，βt)；
(2)如果r(α1，α2，…，αs)=r(β1，β2，…，βt)则β1，β2，…，βt也可由α1，α2，…，αs线性表出,从而{α1，α2，…，αs}≅{β1，β2，…，βt}．
证明：(1)由于向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表出，故向量组α1， α2，…，αs，β1，β2，…，βt可由向量组β1，β2，…，βt线性表出；而向量组β1，β2，…，βt显然可由α1α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性表出，故{α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt}≅{β1，β2，…，βt}，因此r(α1α2，…，αs，β1，β2，…，βt)=r(β1)，β2)，…，βt))． (2)设r(α1，α2，…，α)=r(β1，β2，…，βt)=r，不妨设α1，α2，…，αr为向量组α1，α2，…，αs 的一个极大无关组，又由(1)的结论知 r(α1，α2，…，αs)=r(β1，β2，…，βt)=r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)． 因此α1，α2，…，αr也是向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一个极大无关组，从而β1，β2，…，βt 可由α1，α2，…，αr线性表出，因而β1，β2，…，βt可由α1，α2，…，αs线性表出．因此原命题成立．
