为自己加油

已知函数f(x)=log₂(2^x+1)．
(1)求证：函数f(x)在(一∞+∞)内单调递增；
(2)记g(x)=log₂(2^x一1)(x>0)，若关于x的方程g(x)=m+f(x)在[1，2]上有解，求
m的取值范围．

(1)任取x₁＜x₂，则 f(x₁)-f(x₂)=log₂(2x₁+1)-log₂(2x₂+1)=log₂(2x₁+1)/(2x₂+1)， 因为x₁＜x₂，所以0<2x₁+1<2x₂+1，所以0<(2x₁+1)/(2x₂+1)<1，log₀(2x₁+1)/(2x₂+1)<0， 所以f(x₁)＜f(x₂)，即函数f(x)在(一∞，+∞)内单调递增． (2)因为g(x)=log₂(2^x一1)(x>0)，则 m=g(x)一f(x) =log₂(2^x一1)一log₂(2^x+1) =log₂(2^x-1)/(2^x+1)=log₂[1一(2/2^x+1)]， 当1≤x≤2时，2/5≤2/(2^x+1)≤2/3，所以1/3≤1-2/(2^x+1)≤3/5， 所以m的取值范围是[log₂(1/3)，log₂(3/5)]．