利用函数的单调性证明
(1)方程sinx=x有且只有一个实根．
(2)当x＞0时，ln(1+x)＞arctanx/(1+x)．
(1)显然有一根x=0． 设f(x)=sinx-x，f′(x)=cosc-1≤0． 所以f(x)单调递减，则f(x)至多有一个零点ξ，f(ξ)=0， 即sinξ=ξ，因此sinx=x有且只有一个实根． (2)本题即需证x＞0时，(1+x)ln(1+x)＞arctanx，移项， 令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx，则 f′(x)=ln(1+x)+x2/(1+x2) 显然x＞0时，有 f′(x)>0． 又因为f(x)在[0，+∞)上连续，所以f(x)在[0，+∞)上单增， 于是当x＞0时，有 f(x)＞f(0)=0， 即 (1+x)ln(1+x)-arctanx＞0， 也即ln(1+x)＞arctanx/(1+x) (x＞0)．
