为自己加油

证明级数∑_n=1^∞(-1)ⁿ•[1/ln(n+1)]条件收敛.

证明：先考虑交错级数∑_n=1^∞(-1)ⁿ•u_∞,其中u_n=1/[ln(n+1)]． 由于ln(n+1)﹤ln(n+2)，故1/[ln(n+2)]﹤1/[ln(n+1)]，即μ_n+1﹤u_n,又lim_n→∞u_n=lim_n→∞1/[ln(n+1)]=0， 所以∑_n=1^∞(-1)_n•{1/[ln(n+1)]}收敛.再考虑正项级数∑_n=1^∞∣(-1)ⁿ•{1/[ln(n+1)]}∣=∑_n=1^∞1/[ln(n+1)] 令f(x)．=x-ln(1+x)，在(0，+∞)上 f′(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)﹥0， 故f(x)单调增加，对一切x﹥0，f(x)﹥f(0)=0， 即x﹥ln(1+x),因此1/n﹤1/[ln(n+1)]， 而调和级数∑_n=1^∞1/n发散，所以正项级数∑_n=1^∞1/[ln(n+1)]也发散． 所以∑_n=1^∞(-1)ⁿ1/[ln(n+1)]条件收敛.